The sum of squares of two numbers is \(80\) and the square of difference between the two numbers is \(36\). Find the product of two numbers. (দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল \(80\) এবং তাদের বিয়োগফলের বর্গ \(36\)। সংখ্যা দুটির গুণফল নির্ণয় করো।)

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয় । সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এতদসংক্রান্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে ঐগুলো পুনরুল্লেখ করে কতিপয় প্রয়োগ দেখানো হলো।

সূত্র ১. ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

সূত্র ২. ${(a-b)}^2=a^2–2ab+b^2$

মন্তব্য: সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে দেখা যায় যে, $a^2-b^2$ এর সাথে 2ab অথবা – 2ab যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ, অর্থাৎ ${\left(a+b\right)}^2$ অথবা ${\left(a-b\right)}^2$ পাওয়া যায়। সূত্র ১ এ b এর স্থলে –b বসালে সূত্র ২ পাওয়া যায় : ${\left\{a+(–b)\right\}}^2=a^2+2a(-b)+{(–b)}^2$ অর্থাৎ ${(a-b)}^2=a^2–2ab+b^2$ ।

অনুসিদ্ধান্ত ১. $a^2+b^2={(a+b)}^2–2ab$

অনুসিদ্ধান্ত ২. $a^2+b^2={(a-b)}^2+2ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৩. ${(a+b)}^2={(a–b)}^2+4ab$

প্রমাণ : ${(a+b)}^2 = a^2+2ab+b^2 = a^2–2ab+b^2+4ab = {(a– b)}^2+4ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৪. ${(a-b)}^2={(a+b)}^2-4ab$

প্রমাণ : ${(a–b)}^2 = a^2–2ab+b^2 = a^2+2ab+b^2–4ab = {(a+b)}^2–4ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৫. $a²+b² = \frac{{(a+b)}^2+{\left(a-b\right)}^2}{2}$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

অনুসিদ্ধান্ত ৬. $ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

মন্তব্য : অনুসিদ্ধান্ত ৬ প্রয়োগ করে যেকোনো দুইটি রাশির গুণফলকে ঐ দুইটি রাশির সমষ্টির অর্ধেকের বর্গ হতে ঐ দুইটি রাশির অন্তরের অর্ধেকের বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা যায়।

সূত্র ৩. $a^2–b^2=(a+b) (a–b)$

অর্থাৎ, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল × রাশি দুইটির বিয়োগফল

সূত্র ৪. $(x+a) (x+b) = x^2+(a + b)x+ab$

অর্থাৎ, $(x+a) (x+b)=x^2+$ (a ও b এর বীজগাণিতিক যোগফল) x + (a ও b এর গুণফল)

বর্গসূত্রের সম্প্রসারণ: a` + b + c রাশিটিতে তিনটি পদ আছে। একে (a + b) এবং c এ দুইটি পদের সমষ্টিরূপে বিবেচনা করা যায়। অতএব, সূত্র ১ প্রয়োগ করে রাশিটির বর্গ করে পাই,

$(a+b+c)²=(a+b)+c²=(a+b)²+2(a+b)c+c²$

$=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

সূত্র ৫. ${(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

অনুসিদ্ধান্ত ৭. $a^2+b^2+c^2 = {(a+b+c)}^2 – 2(ab+bc+ac)$

অনুসিদ্ধান্ত ৮. $2(ab+bc+ac) = {(a+b +c)}^2–(a^2+b^2+c^2)$

দ্রষ্টব্য : সূত্র ৫ প্রয়োগ করে পাই,

ক) ${(a+b-c)}^2=\{{a+b+(-c)\}}^2$

$=a^2+b^2+{(- c)}^2+2ab+2b(-c)+2a(-c)$

$=a^2+b^2+c^2+2ab–2bc–2ac$

খ) $(a-b+c{)}^2 = {a+(–b)+c}^2$

$=a^2+{(-b)}^2+c^2+ 2a(-b) + 2(-b)c + 2ac$

$=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac$

গ) ${(a-b-c)}^2 = {\{a+(-b)+(-c\left)\right\}}^2$

$=a^2+{\left(-b\right)}^2+{\left(-c\right)}^2+2a\left(-b\right)+2\left(-b\right)\left(-c\right)+2a(-c)$

$=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac$

উদাহরণ ১. (4x + 5y) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(4x+5y{)}^2 = (4x{)}^2+2\times \left(4x\right)\times \left(5y\right)+(5y{)}^2 = 16x^2+40xy+25y^2$

উদাহরণ ২. (3a - 7b) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(3a-7b{)}^2 = (3a{)}^2-2\times \left(3a\right)\times \left(7b\right)+(7b{)}^2=9a^2-42ab+49b^2$

উদাহরণ ৩. বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে 996 এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : $(996{)}^2=(1000-4{)}^2=(1000{)}^2-2\times 1000\times 4+4^2$

$=1000000-8000+16 = 1000016-8000 = 992016$

উদাহরণ ৪. a + b + c + d এর বর্গ কত?

সমাধান : $(a+b+c+d{)}^2=\{(a+b)+(c+d){\}}^2$

$=(a+b{)}^2+2(a+b\left)\right(c+d)+(c+d{)}^2$

$=a^2+2ab+b^2+2(ac+ad+bc+bd)+c^2+2cd+d^2$

$=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$

উদাহরণ ৫. সরল কর :

$(5x+7y+3z{)}^2+2(7x-7y-3z\left)\right(5x+7y+3z)+(7x-7y-3z{)}^2$

সমাধান : , 5x + 7y + 3z = a এবং 7x - 7y - 3z = b

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=a^2+2.b.a+b^2 = a^2+2ab+b^2$

$={(a+b)}^2$

$=\left\{\right(5x+7y+3z)+(7x-7y-3z){\}}^2$

$=(12x{)}^2=144x^2$

উদাহরণ ৬. x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান : $(x+y{)}^2 = (x-y{)}^2+4xy=(2{)}^2+4\times 24 = 4+96 = 100$

$\therefore x+y=\pm \sqrt{100}=\pm 10$

উদাহরণ ৭. যদি $a^4+a^2{b}^2+b^4=3$ এবং $a^2+ab+b^2=3$ হয়, তবে $a^2+b^2$ এর মান কত?

সমাধান : $a^4+a^2{b}^2+b^4$

$=(a^2{)}^2+2a^2{b}^2+(b^2{)}^2-a^2{b}^2$

$=(a^2+b^2{)}^2-(ab{)}^2$

$=(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab)$

$=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$\therefore$ $3=3(a^2-ab+b^2)$ [মান বসিয়ে]

বা, $a^2-ab+b^2=\frac{3}{3}=1$

এখন, $a^2+ab+b^2=3$ এবং $a^2-ab+b^2=1$

যোগ করে পাই, $2(a^2+b^2)=4$

বা, $a^2+b^2=\frac{4}{2}=2$

$\therefore$ $a^2+b^2=2$

উদাহরণ ৮. প্রমাণ কর যে, $(a+b{)}^4-(a-b{)}^4=8ab(a^2+b^2)$

সমাধান : $(a+b{)}^4-(a-b{)}^4$

$=\left\{\right(a+b{)}^2{\}}^2-\left\{\right(a-b{)}^2{\}}^2$

$=\left\{\right(a+b{)}^2+(a-b{)}^2\}\left\{\right(a+b{)}^2-(a-b{)}^2\}$

$=2(a^2+b^2)\times 4ab$ [অনুসিদ্ধান্ত ৫ এবং অনুসিদ্ধান্ত ৬ ব্যবহার করে]

$=8ab(a^2+b^2)$

$\therefore (a+b{)}^4-(a-b{)}^4=8ab(a^2+b^2)$

উদাহরণ ৯. a + b + c = 15 এবং $a^2+b^2+c^2=83$ হলে, $ab+bc+ac$ এর মান কত?

সমাধান : প্রথম পদ্ধতি :

$2(ab+bc+ac) = (a+b+c{)}^2-(a^2+b^2+c^2) = (15{)}^2-83=225-83=142$

$\therefore ab+bc+ac = \frac{142}{2} = 71$

উদাহরণ ১০. a + b + c = 2 এবং ab + bc + ac = 1 হলে, $(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2$ এর মান কত?

সমাধান : $(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2$

$=a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ca+a^2$

$=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)+(a^2+b^2+c^2)$

$=(a+b+c{)}^2+(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)$

$=(2{)}^2+(2{)}^2-2\times 1 = 4+4-2 = 8-2=6$

উদাহরণ ১১. (2x + 3y)(4x - 5y) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

সমাধান : ধরি, 2x + 3y = a এবং 4x - 5y = b

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $ab= {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

$={\left(\frac{2x\_3y+4x-5y}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2x+3y-4y+5y}{2}\right)}^2$ [a ও b এর মান বসিয়ে]

$=(3x-y{)}^2-(4y-x{)}^2$

$\therefore (2x+3y)(4x-5y)=(3x-y{)}^2-(4y-x{)}^2$